極形式・ド・モアブルと累乗根
数学C「複素数平面」。偏角の取り方、積と商、ド・モアブルの定理、n乗根の全解と配置を学びます。
学習のポイント
- 0でない複素数zの極形式はr(cosθ+i sinθ)で、r=|z|>0です。偏角は2πの整数倍だけ異なる値も同じ複素数を表します。この単元で「主値」と言うときは−π<θ≤πを使います。
- 積では絶対値を掛け、偏角を足します。商では0でない数で割り、絶対値を割り、偏角を引きます。角度の単位を式中で揃えます。
- ド・モアブルの定理は[r(cosθ+i sinθ)]ⁿ=rⁿ(cos nθ+i sin nθ)です。n乗根では偏角に2πkを足してからnで割り、k=0,…,n−1で異なる全解を得ます。
- 原点z=0の偏角は定義されません。0のn乗根は0だけです。0でない数のn乗根は複素数平面で原点中心の円周上に等間隔で並びます。