数学的帰納法
数学B「数列」。基底・帰納段階・適用範囲を分け、和・不等式・反例で証明の成否を判断します。
学習のポイント
- 自然数nの命題P(n)を示すには、開始点でPが成り立つこと（基底）と、任意のkについてP(k)からP(k+1)が導けること（帰納段階）の両方が必要です。
- 帰納段階ではP(k)を仮定として使えますが、結論P(k+1)を初めから仮定してはいけません。基底から帰納段階を繰り返すことで対象の全nへ広がります。
- 開始点が2なら証明されるのはn≥2です。n=1まで言うなら別に確かめます。最初の数例だけでは一般の命題の証明になりません。
- 和の証明ではSₖ₊₁=Sₖ+次の項を使います。不等式の帰納段階では、使用する不等式の向きとkの範囲を確認します。